- Дзета-функция
-
Дзета-функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле:
- .
В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
- ,
где произведение берётся по всем простым числам p. Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Содержание
Свойства
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
- , где B2m — число Бернулли.
- В частности, , .
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Есть также результаты, показывающие, что среди некоторого множества значений дзета-функции в следующих нечетных точках есть хотя бы одно иррациональное.
- При
- , где μ(n) — функция Мёбиуса
- , где τ(n) — число делителей числа n
- , где ν(n) — число простых делителей числа n
- ζ(s) имеет в точке s = 1, простой полюс с вычетом, равным 1.
- Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
- ,
-
- где Γ(z) — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
- Для функции
- введенной Риманом для исследования ζ(s) и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
Нули дзета-функции
-
- Основная статья: Гипотеза Римана
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости , функция ζ(s) имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее при вещественных . Таким образом, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Гипотеза Римана состоит в том, что все «нетривиальные» нули дзета-функции находятся на прямой 1 / 2 + it.
История
Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.
Ссылки
- Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
Wikimedia Foundation. 2010.